RuBisCO alias RuBisCO

on peut aussi écrire un programme qui prend une formule n equation n inconues et sort le résultat...

Mais tu verras que c'est nettement plus facile de programmer avec les matrices.

j'attend de voir... quand tu réfléchit n=truc ou n= bidule, sa prend un temps fou a programer... mais si tu programe bien ton pivot sa doit pouvoir se faire rapidos (le programmer est ma 734 prioritée... celle dont je me préocuperait une fois les 733 précédentes réalisées...)
d'ailleur, j'ai a ce sujet une question "étrange":
tu sait comment est agencé un format .tex? c'est du .txt avec seulement l’extension de changée ou il y a des conventions?

J'avoue que je suis plus utilisateur de LaTex que informaticien, c'est pour moi juste un format qui permet de faire beaucoup de choses.
Je vais vite retourner à mon mappage, j'espère finir au moins une page ce soir !

Bon, j'arrive pas à dormir, faisons des maths !

On cherchait dans le dernier épisode à résoudre ça :
qui est la forme matricielle du système :

Déterminant d'un système et d'une matrice
Première chose a faire : vérifier si le système à une unique solution (car soit il en a une unique, soit aucune, soit une infinité)
Un outil va nous dire cette information, c'est le discriminant du système.

Pour comprendre son utilité, visons plus modeste, un système de deux équation a deux inconnues :
Pour la suite, on considère b et b' non nul, on va effectuer une combinaison linéaire pour se débarrasser du y : On appelle discriminant du système à deux équations à deux inconnues le nombre , et les solutions du système est entre les mains de ce nombre.

Démonstration entière:

donc si le déterminant est non nul, il y a un nombre fini de solutions, sinon il y a aucune ou une infinité de solutions au système.
Ce discriminant est aussi celui d'une matrice :

Résolution du système par le calcul matriciel
Je vous passe la démonstration, mais pour une matrice 3x3, on calcule le déterminant ainsi :
Mais que va-t-on en faire, même si on considère que le déterminant est non nul, on a toujours à déterminer les solutions du système !
Retournons à notre précédent système à deux inconnues, les solutions étaient :
Maintenant, regardons ce qui se passe si on remplace une colonne de la matrice par la colonne de la matrice des constantes, on obtient deux nouvelles matrices :
et calculons leurs discriminants : on constate alors que : C'est pas beau tout plein

Résolution du système de départ par le calcul matriciel :
On trouve en utilisant la méthode tirée de ci-dessus :

RuBisCO a écrit:

J'avoue que je suis plus utilisateur de LaTex que informaticien, c'est pour moi juste un format qui permet de faire beaucoup de choses.

bon, j'ai pris mon courrage a demain, et je vous annonce que:
.tex=.txt
enfin précisément, il n'y a que l’extension qui change... en somme que transformer un fichier .txt en fichier .tex se fait en... une ligne:
rename ("tex.txt", "tex.tex");

et c'est tout! bon, le programme complet est plus long:
#include <stdio.h>
int main()
{
rename ("tex.txt", "tex.tex");
return(0);
}

soit, en mode goret:
#include <stdio.h>
int main()
{rename ("tex.txt", "tex.tex"); return 0;}

deux questions:
-tu fait comment ta division matricielle?
-tu sait comment obtenir une solution de soude alcoolique (ou de la soude tout court) a partir de truc trouvables en magazin?

Citation :

tu fait comment ta division matricielle?

Je n'ai pas fait de division matricielle, j'ai divisé les discriminants entre eux !

Citation :

tu sait comment obtenir une solution de soude alcoolique (ou de la soude tout court) a partir de truc trouvables en magazin?

Tu achètes de la soude caustique en poudre ou en pastilles (ou à défault une solution de lessive de soude que tu évaporeras), ensuite tu mélange à de l'alcool
Pourquoi toutes ces questions ?

en fait, je me demandais si il était possible d'en fabriquer a partir de sel...

pourquoi je m'interesse a la production de soude?
ben, la soude a plein d’utilités comme... produire du savon quand je serait poursuivit par Pel... faut que je m'habitue a vivre paumé dans la nature si je veut y survivre... alors produire son savon... sa permet de rester propre...

Tu pourrais, par électrolyse (on en a parler dans le forum, notamment dans ma synthèse)
Mais tu risques de consommer beaucoup d'électricité.

Voyons, je lance un défi, histoire de faire monter l'eau à la bouche avant mon article de ce week-end :

Énoncé :

question subsidiaire : refaire la question b avec A₁, A₂ et A₃ quelconques (avec néanmoins )

a) c'est une droite (y=0.5x+1.5)
b) c'est une parabole
c) Un point ne se trouve qu'a un endroit or A3 se trouve a deux endroit c'est donc un rien du tout je dirait, la courbe représentant un polynôme de degrés trois.

Bien, maintenant calcule les équations des courbes.
Bonne chance pour le dernier !

bon merci a ce solveur
pour la parabole
y=-(2x^2/3)+(14x/3)-(3)

pour l'autre

y=-(3x^3/10)+(63x^2/20)-(187x/20)+(19/2)

mais j'avait déjà réfléchit a la question...

En fait, il y a une infinitée de courbes passant par ces points (et il y en a des non continues qui peuvent manquer de charme... constante puis constante puis constante... c'est moche mais sa répond a la consigne :-P

Bon, je vais enfin essayer de répondre à la question : en effet, il existe une infinité de courbe qui passe par tel ou tel point, mais on va essayer de trouver une équation d'une courbe polynomiale car ça a plein d’avantages : c'est continu, c'est facilement dérivable et intégrable, on sait à peu près comment ça se comporte..., bref un bonheur à calculer !

Introduction : trouver une droite passant par deux points
Commençons avec le plus simple : pour deux points non alignés sur une verticale, l'équation de la droite passant pas ces deux points est de la forme y=ax+b. On cherche donc à résoudre :

Résolution du système:

Donc on obtient l'équation de la droite suivante :
Approche : vers les polynomes de Lagrange
Mais allons un peu plus loin :
Vous allez me dire, c'est tiré par les cheveux, on avait un truc simple, pourquoi faire compliqué !
Maintenant intéressons-nous aux deux fonctions l₁ et l₂ définies sur ℝ de la façon suivante :
On va surtout voir le comportement des deux fonctions en deux abscisses précises : x=x₁ et x=x₂
Et là, on se dit : que c'est ingénieux, j'ai bien fait de développer mon monstre tout à l'heure ! Vous voyez toujours pas ?
On se trouve avec des fonctions l_k définies sur IR avec les propriétés suivantes :
- elle est égale à 1 quand x=x_k
- elle s'annule quand x=x_i,i≠k, c'est-à-dire quand elle est au niveau de l'abscisse d'un autre point défini.
Notre fonction solution du problème se retrouve alors de la forme : Application : à la recherche du polynôme passant par 3 points
Avec notre précédente expérience, on voit comment faire en sorte de satisfaire cette exigence : imaginons maintenant 3 points non alignés deux à deux sur une verticale. On définit 3 fonctions sur ℝ comme ceci :
Maintenant on observe pour les abscisses x₁, x₂ et x₃ :
On a donc trouvé une fonction polynomiale L qui passe par ces trois points (vous remarquerez que c'est une fonction du second degré) :
Conclusion :
On a fait une interpolation lagrangienne de ces n points , les fonctions l_j sont appelés les polynômes de Lagrange et L est l'unique fonction polynomiale de degré passant par ces n points, nommé parfois polynôme d'interpolation.
On peut écrire nos polynômes de Lagrange sous la forme :
et voilà notre polynôme d'interpolation :

Je sens que vous vous dites : a quoi ça sert ? Comme je l'ai dit, c'est facile d'intégrer des polynômes, voyons un petit exemple.


On regarde la fonction, et on se dit : "mince, comment je vais trouver une primitive de cette fonction ?". On va donc vite écarter vu notre niveau l'intégration de cette fonction, et on va chercher ailleurs.

Bon, on va se représenter cette fonction et on va demander une première approximation à l'ordinateur :

Représentation graphique de f :

Vous remarquerez que j'ai placé 3 points aux abscisses 1, 1.5 et 2.

Maintenant, partons de ces points pour calculer les polynômes de Lagrange, puis calculer le polynôme d'interpolation.

Polynôme de Lagrange et polynôme d'interpolation :

On remarque que la courbe obtenue est une fonction du troisième degré et qu'elle ne ressemble pas à première vue à la fonction f. Mais superposons les deux courbes, histoire d'être sur :

Superposition de deux courbes et écart :

Avec seulement 3 points, l'interpolation donne sur l'intervalle [1,2] des écarts d'environ 0.5%, ce qu'on peut considérer comme une bonne approximation. Maintenant, on calcule l'intégrale du polynôme sur cet intervalle (c'est nettement plus simple, non ? )

Comparaison des résultats :

On optient quant même 3 décimales de juste, notre approximation est acceptable. Si vous rajoutez des points, votre interpolation se rapprochera plus de l'original et on obtiendra un résultat plus précis.

Voyons, je pense que les terminales S spécialité maths se souviennent de cet exercice :

Citation :

Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
Si elle fais des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons ?

Bon, on voit évidemment que c'est 383 (383=17×22+9=5×76+3)

Mais vous me direz, c'est trop simple, maintenant on a cet énoncé :
Beaucoup plus général, on va voir la méthode utilisé dans ce cas de figure.

Méthode de résolution générale :
On cherche un couple solution de l'équation .
On sait d'après le théorème de Bézout qu'il y a au moins un couple solution de cette équation diophantienne.

On définit par , on peut constater que :
Conclusion, est solution de notre problème.

On sait à ce stade de notre raisonnement que :
Or on a un théorème qui nous dit que :

Démonstration:

De ceci, on peut en déduire que : Il suffit donc de trouver un couple (u;v) pour trouver la solution. Si vous avez une autre indication, comme un intervalle où se trouve la solution, vous pouvez aisément calculer le ou les k correspondants et conclure.

Toujours pour les terminales scientifiques, voilà un autre exercice :

Citation :

Vous reconnaîtrez dans les grandes lignes l'énoncé du bac, mais laissons aller notre raisonnement, libre de toute entrave des questions.

définition des fonctions
On définit les fonctions par , définies sur en tant que produit de fonctions définies sur cet intervalle.
Elles sont continues sur cet intervalle car les fonctions précédemment citées sont continues sur .
Notre problème revient à étudier la limite de la fonction (I_n) définie par émission de conjectures
Une petite création GeoGébra pour visualiser le problème :

Visualisation du problème :

On peut conjecturer que la fonction (I_n) est décroissante et sa limite en +∞ serait 0.

démonstration de la récurrence de la suite (I_n)
Pour tout n≥1 :
On peut effectuer une intégration par parties :
On peut en déduire que pour tout n≥1 :

démonstration de la décroissance de la suite (I_n)
Soit la proposition définie par . On cherche à vérifier que cette proposition est vraie pour tout

initialisation : pour n=1,

Calcul de I₁ :

Calcul de I₂ :

Donc vraie.

hérédité : Considérons comme vraie, c'est notre hypothèse de récurrence.
Démontrons alors que est vraie aussi.
Donc si vraie, l'est aussi : la propriété est héréditaire.

conclusion : est vraie et la propriété est héréditaire, donc :
Démonstration d'une limite finie de (I_n) en +∞
Les fonctions sont strictement positives sur , car elles sont le produit de fonctions strictement positives sur : la fonction exponentielle strictement positive sur et la fonction y=x strictement positive sur .
Comme 0<1, on peut en déduire que :
La suite (I_n) est strictrement décroissante et minorée par 0, la suite (I_n) est donc convergente, donc possède une limite finie en +∞.

Calcul de la limite de (I_n) en +∞
On sait que :On a :
la fonction exponentielle est strictement croissante sur :la fonction avec n un entier non nul est strictement croissante sur en tant que produit de fonctions croissantes sur , on a :
or la fonction est strictement positive, on peut donc en déduire que :

Je suis allé assez vite sur le précédent post sur les matrices. On va tacher d'expliciter un peu plus.

Transformation linéaire : considérons deux grandeurs, X définie par les grandeurs , , ..., et Y définie par les grandeurs , , ..., .
Une transformation linéaire reliant X et Y est un système comme ceci :

Exemple de transformation linéaire :

Notion de matrice : une matrice d'ordre m par n est un tableau de m×n éléments, c'est-à-dire avec m lignes et n colonnes.
On la note ainsi entre crochets :
On trouve parfois des notations avec des parenthèses ou des doubles barres.
Si on cherche un élément précis, l'élément renvoie à l'élément à l'intersection de la ligne i et de la colonne j.
Il y a des matrices particulières :
- les matrices "colonne" : comme son nom l'indique, il n'y a qu'une seule colonne pour plusieurs lignes : une matrice n×1. On les note parfois entre accolades.
- les matrices "ligne" : je pense que vous devinez que c'est une matrice 1×n.
- les matrices "carrée" : c'est une matrice n×n. Parfois, l'initiale est notée à l'intérieur d'un carré.


Lien entre transformations linéaires et matrices : on peut dire que les grandeurs X et Y peuvent être représentées par des matrices colonnes. Pour obtenir la transformation, on construit une "matrice de transformation" de dimension (m,n) .

Exemple :

Notre système est donc un système de m équations de la forme :

Opérations de base avec les matrices : je vous renvoie à mon précédent message sur les matrices.
On retiendra l'essentiel :
- somme de deux matrices de même ordre :
- produit d'une matrice avec un scalaire (réel notamment) :
- produit d'une matrice d'ordre (m,n) et d'une matrice d'ordre (n,p), on obtient une matrice d'ordre (m,p) :
On dit que " prémultiplie " et " postmultiplie " (dans ce cas, cela suppose que m=p car les deux sens sont possibles uniquement dans ce cas)

Matrices zéro et matrices unité : les matrices zéro et les matrices unités sont notées respectivement ici [0] et (car il s'agit de matrices carrés).
- les matrices zéro d'ordre (m,n) sont remplis de zéro :
- les matrices unité sont des matrices carrées qui ont la diagonale remplit de 1 et le reste de 0. On les représentes souvent par le symbole de Kronecker, une fonction définie par :
Elles ont les propriétés suivantes :
- toute matrice zéro qui est additionné à une matrice, si celle-ci est possible, donne comme somme la matrice concernée.
- toute matrice zéro qui est multipliée (pré ou post-multipliée) à une matrice, si celle-ci est possible, donne comme produit une matrice zéro.
- toute matrice unité qui est multipliée (pré ou post-multipliée) à une matrice, si celle-ci est possible, donne comme produit la matrice concernée.


Propriété des matrices carrées de même ordre : elles ont certaines propriétés intéressantes
- elles sont multipliables dans les deux sens : prémultiplication et postmultiplication
- certaines matrices carrées sont commutables deux à deux, c'est à dire que la prémultiplication et la postmultiplication donnent le même résultat.
- on peut élever à une puissance entière n non nulle les matrices carrées : on opère n fois une multiplication de la même matrice.


Détermination d'un déterminant : pour faire simple, un déterminant d'une matrice carrée est un nombre qui permet de déterminer par exemple si une transformation linéaire, qui a pour matrice de transformation cette même matrice, a un nombre fini de solutions.
On note le déterminant d'une matrice carrée comme ceci :
On va introduire quelques notions pour donner une formule permettant le calcul du déterminant.
Soit une matrice carré d'ordre n :
- mineur : on appelle mineur de l'élément d'un déterminant d'ordre n, le déterminant d'ordre n-1 obtenu en supprimant la ligne et la colonne . On le note :
- cofacteur : Le cofacteur correspondant à est noté et est par définition :
- développement de Laplace : Le déterminant de la matrice carrée d'ordre n est donc :
On obtient alors une somme de n termes comprenant comprenant chacun un discriminant d'ordre n-1. On peut faire passer ces discriminants dans un ordre plus bas en refaisant un développement de Laplace.

Exemple :

La formule rappelle le théorème de Cramer en algèbre linéaire :

Voilà, j'avais écrit ceci avant le bac de mathématiques :

RuBisCO a écrit:

Alors, voyons, à quoi sert de faire des matrices, surtout au lycée ? Et bien, c'est très utile aux élèves de terminales qui, ayant une TI, sont bien embarrassé pour vérifier s'ils ne se sont pas trompés dans leur pivot de Gauss.
Par exemple, résolvons le système suivant :

En fait, cela peut s'écrire sous forme matricielle, comme ceci :

donc il suffit de calculer :

et ça, une TI sait le faire !
Comment calculer ce truc, vous le saurez la semaine prochaine !

Alors, j'avais écrit cet article pour le cas où quelqu'un avait une TI et si on tombait au bac sur de la géométrie dans l'espace (et c'est tombé pour les non-spé). Par contre, quand j'ai expliqué comment résoudre cette équation, j'ai utilisé le théorème de Cramer (un système de n équations linéaires à n inconnues, c'est un système de Cramer) et j'ai pas tout à fait expliqué comment "calculer ce "truc".

Bon, on va s'attaquer au calcul des matrices inverses, bande de petits veinards ... et comme je vois que ça vous intéresse je continue mon article.

Matrice transposée : c'est une matrice obtenue en permutant les lignes avec les colonnes de même indice. On la note avec une apostrophe.
Voilà quelques exemples de transposition :

Matrice adjointe ou comatrice : cela renvoie aux cofacteurs . C'est la matrice transposée de la matrice où les éléments ont été remplacée par les cofacteurs correspondants. On la notera .
Voyons un exemple :
on a : la comatrice est donc :

Matrice inverse : en algèbre élémentaire, on définit comme inverse de A un nombre B tel que le produit de A et B soit 1. Pour les matrices, l'inverse d'une matrice carrée est définie par :
on montrera par la suite que comme en algèbre, il y a des conditions pour qu'une telle matrice existe : si le déterminant de la matrice de départ est non nul.

Maintenant, considérons la matrice produit , on peut en déduire d'après la formule du produit matriciel :
d'après le théorème de Cramer ci-dessus :
Le symbole de Kronecker définie une matrice unité, d'où :
Vous comprenez maintenant pourquoi le déterminant doit être non nul !

Maintenant, vous savez comment résoudre cette grosse bête, et ainsi se clos ce chapitre sur les matrices.

J'ai eu mon bac, youpi
Mention très bien par dessus le marché !
Et vous, comment ça s'est passé votre bac ?

bof...

j'ai eu la mention bien... j'étais a 567 points et il m'en fallait 576 pour la mention très bien (c'est rageant!)

pour me consoler, j'ai eu 20 en maths... mais bon... quand même, pour 9 petits points.... surtout qu'en philo, j'avais eu 12 toute l'année et la 9, ben,... sa fait pile les trois points coef 3 qu'il me manque...

Tu parles, j'ai eu 18 en maths (je le savais, j'avais fini en quatrième vitesse les questions sur les limites, je l'avais quasiment baclé)
Par contre, j'ai en 17 en philo, une énorme surprise !

ah! 17 en philo??? c'est possible??? et ben...

CHAMPION!




quand j'y réfléchit bien, se qui m'a fait le plus plaisir moi, c'était l'anglais: 16/20.
au premier trimestre de première, j'avais eu 7,5/20 (je pense avoir réussi a rattraper mon retard... surtout grace a ce site quoique je dise a mes profs...).
Sa fait aussi plaisir de voir que rien n'est figé... (les profs de primaires m'avaient prédit l’échec dans les sciences: 20 en maths, 17 en physique chimie... brillant échec!)

ce qui m'a le plus gèné, c'est quand le prof de maths c'est mis a me plaindre comme quoi c'était anormal que j'ai pas eu la mention très bien et qu'ils étaient vraiment injustes, etc... alors qu'a coté, un élève de ma classe venait d'apprendre qu'il ferait deux terminales... mais bon...

Tu parles, moi en anglais j'ai eu 12 (c'est pas mon fort, les langues)
Sinon, physique 18 et SVT 19.
Remarque, c'est déjà pas mal par rapport a ton copain. Chez nous, il n'y a qu'une seule personne qui ne l'a pas eu.